El origen de la Física cuántica se encuentra en 1859, año en el que se estudia la transmisión de calor mediante radiación sobre un cuerpo negro (Schwarzer Körper), ya que en aquel entonces sólo se sabía que los objetos calientes emitían luz o «cómo un cuerpo al calentarse cambia de color en función de su temperatura» (Pullman 2010), pero no existía una teoría que explicara la distribución de energía en las diferentes longitudes de onda que emitían. Fue Gustav Kirchhoff el pionero, publicando primero la relación entre la emisión y la absorción de la luz y el calor en los cuerpos (Kirchhoff 1859a,b), apuntalando la base del estudio de la radiación térmica sobre un cuerpo negro, el cual definió en su artículo Sobre la relación entre el poder de emisión y el poder de absorción de los cuerpos para calor y luz (1860). Ese artículo contiene además una de las conclusiones más importantes para el futuro de la investigación en este campo, y es que la radiación en equilibrio térmico no depende de la forma ni del tamaño de la cavidad (horno eléctrico), así como tampoco del material de las paredes, sino únicamente de la temperatura (Kragh 2002).

El siguiente punto de inflexión se encuentra en 1879, año en el se descubre que la energía teórica irradiada en forma de calor dependía de la potencia cuarta de la temperatura (Kragh 2002), gracias al trabajo de Josef Stefan titulado Sobre la relación entre la radiación térmica y la temperatura (Stefan 1879), en el que propuso la fórmula:

$$\dot{Q}=\sigma T^4,$$

donde $\dot{Q}$ es la potencia radiada por unidad de superficie (W/m²), $T$ la temperatura absoluta (K) y $\sigma$ la actual constante Stefan-Boltzmann (5,670 374 419·10⁻⁸ W m⁻² K⁴)*. Se incluye a Ludwig Boltzmann en esa constante no por ser alumno de Stefan, sino porque cinco años más tarde derivó la misma ley de forma teórica combinando la los principios de la Termodinámica con las ecuaciones del electromagnetismo de Maxwell (Boltzmann 1884), de ahí que también la ley de transmisión de calor por radiación se denomine ley de Stefan-Boltzmann (Çengel y Ghajar 2020). Entonces, una vez sabida la forma de calcular la cantidad de radiación emitida por un cuerpo negro, la siguiente pregunta a responder es la distribución espectral de la radiación, y en ese sentido apareció Wilhelm Wien en 1893 para sentar las bases (Wien 1893) de lo que sería la ley Sobre la distribución de energía en el espectro de emisión de un cuerpo negro (Wien 1896) tres años después, también denominada «ley de desplazamiento» por Lummer y Pringsheim (1899) porque a medida que aumenta la temperatura, el punto máximo de la curva se desplaza hacia las longitudes de onda pequeñas. La fórmula de Wien describía tanto la forma como la posición del punto máximo de la curva de distribución mediante la fórmula:

$$\dot{Q}=\frac{C}{\lambda^{5}e^\frac{c}{\lambda T}},$$

donde $c$ y $C$ son constantes universales.

Entre tanto, Max Ernst Planck deja la Universidad de Kiel en 1889 para trabajar en la Universidad de Berlín como profesor titular de Física Teórica —reemplazando a Gustav Kirchhoff, quien murió en 1887, siendo el tercero de una terna que lideraba Heinrich Hertz, quien aceptaría la propuesta de la Universidad de Bonn para sustituir al difunto Rudolf Clausius en 1889, y en segundo lugar Boltzmann, quien rechazaría el puesto también y que posteriormente reconocería que había sido uno de los mayores errores de su carrera (Brown 2021)—, donde continúa con sus investigaciones sobre Termodinámica, principalmente en la entropía, donde cabe recordar que es autor de uno de los postulados que constituyen el Segundo principio de la Termodinámica (Planck 1897). Sin embargo, empieza a interesarse por la radiación de los cuerpos negros aproximadamente a partir del 21 de julio 1894, día en que su mentor y amigo  Hermann von Helmholtz sufre un derrame cerebral que le deja incapacitado, que sumado a la muerte de Heinrich Hertz el 1 de enero de ese mismo año, le causó un gran impacto que terminó en depresión (Brown 2021). Cierto es que además de esa causa afectiva, también existe otra pragmática, pues ese año la comunidad de Física berlinesa pone el foco en los cuerpos negros, aunando esfuerzos entre la Universidad de Berlín y el Physikalisch-Technische Reichsanstalt (Instituto Imperial Físico-Técnico, también conocido como PTR), donde trabajaban los mejores expertos en radiación como Otto Lummer, Ernst Pringsheim, Heinrich Rubens, Friedrich Paschen, Ferdinand Kurlbaum (todos ellos doctorandos de  Hermann von Helmholtz) y Wilhelm Wien.

Los trabajos preliminares de Planck sobre la radiación de los cuerpos negros se inician en 1897 con y culminan en 1899 con la derivación de la fórmula de Wien

Figura 1. Espectros del cuerpo negro a diferentes temperaturas medidos por Lummer y Pringsheim (1899). Los valores de $\times$ son observados (medidos en laboratorio) y $\textcircled{\times}$ los calculados. Para valores grandes de λT, la curva medida (línea continua) se encuentra por encima de la curva calculada (línea discontinua), lo que indica la insuficiencia de la ley de radiación de Wien (1896). En el eje OX se representa la longitud de onda (μm) y en el eje OY la energía irradiada.

 

En 1899 Lummer y Pringsheim (1899) presentan ante la Sociedad Alemana de La Física los Distribución de energía en el espectro del cuerpo negro, donde demuestran sistemáticamente que la ecuación de Wien no describe correctamente la radiación para longitudes de onda grandes (λT > 3000), como se puede observar en la Figura 1. En la presentación de Comentarios críticos sobre la radiación del cuerpo negro (Lummer y Pringsheim 1900), llevada a cabo por Lummer el 2 de febrero de 1900 en la Sociedad Alemana de la Física, propone una nueva ,

 

«Recientemente, la ecuación de Wien ha sido derivada por M. Planck sobre bases electromagnéticas. Planck cree haber demostrado que esta ecuación es una consecuencia necesaria del principio del aumento de entropía.»

Comentarios críticos sobre la radiación del cuerpo negro, Lummer y Pringsheim (1900)

 

mismo día en que diversos investigadores propusieron nuevas fórmulas para tratar de explicar todo el espectro de radiación, como Thiesen (1900):

$$\dot{Q}=\frac{C\sqrt{\lambda T}}{\lambda^{5}e^\frac{c}{\lambda T}},$$

Rayleigh (1900):

$$\dot{Q}=\frac{C\lambda T}{\lambda^{5}e^\frac{c}{\lambda T}},$$

y Lummer y Jahnke (1900):

$$\dot{Q}=\frac{CT^{5-\mu}}{\lambda^{\mu}e^\frac{c}{(\lambda T)^{\nu}}},$$

donde $\mu$ y $\nu$ son dos parámetros ajustables, pero no constantes universales como $C$ y $c$, como se verá más adelante. Sin embargo, es en otoño de 1900 cuando Brown (2021) sugiere que Planck encuentra «la fórmula matemática que la Naturaleza anhelaba revelar», bien en su despacho de Berlín, bien en una de sus conferencias berlinesas o en el tren de regreso a Berlín desde Múnich, después de despedirse de su difunto padre el 14 de septiembre. Hürter (2022) indica que el 7 de octubre de 1900, durante una cena en la casa de Planck en Grunewald, Heinrich Rubens le «pone al día de sus últimas mediciones en el laboratorio del PTR y de cómo las curvas que él y sus colegas han dibujado contradicen todas las fórmulas usadas hasta el momento», refiriéndose principalmente a la ley de Wien (1896), pero también a las de Lummer-Jahnke (1900), Rayleigh (1900) y Thiesen (1900), ya que predecían con bastante precisión la radiación emitida para longitudes de onda corta, pero no para la larga (espectro infrarrojo). Esa misma noche a Planck le encajan todas las piezas del rompecabezas y concibe la fórmula que marcará el principio de una nueva era, la contrasta con los valores existentes y obtiene predicciones de alta precisión para todo el espectro de longitudes de onda: sabía que había resuelto el enigma de la radiación de los cuerpos negros (Hürter 2022). Sabedor de haber hecho «un descubrimiento tan importante como Newton» (Hürter 2022) le escribe a Rubens con la fórmula e interpreta al piano El himno de la alegría, de Ludwig van Beethoven.

Doce días después, el 19 de octubre, en su conferencia Sobre una mejora de la ecuación espectral de Wien (Planck 1900a, 1972) presenta ante la Sociedad de la Física (Deutsche Physikalische Gesellschaft), que se reunía los viernes en la Magnus Haus de Berlín, la fórmula para calcular la energía ($\dot{Q}$) de radiación emitida por un cuerpo negro a partir de la longitud de onda ($\lambda$) irradiada a una temperatura determinada ($T$):

$$\dot{Q}=\frac{C\lambda^{-5}}{e^\frac{c}{\lambda T} -1},$$

donde $c$ y $C$ son las constantes que justificará en diciembre, ya que en ese momento la fórmula es puramente matemática y carece de justificación teórica en el campo de la Física. Pese a ello, Planck sabe que «se ajusta con los datos observados publicados hasta ahora tan satisfactoriamente como las mejores ecuaciones presentadas para el espectro» (Planck 1900a, 1972).

 

Figura 2. El cuerpo negro «luminiscente eléctricamente» de Lummer y Kurlbaum, que podía alcanzar temperaturas de aproximadamente 1600 °C. La cavidad consistía en una camisa calefactora de lámina de platino con un tubo interior de un material resistente a la fusión, fabricado por la Real Fábrica de Porcelana de Charlottenburg (Hollandt 2012).

 

Continúan los ensayos, y se pasa de una cavidad esférica, como la empleada por Lummer y Pringsheim (1899), a una tubular como la de la Figura 2, un horno diseñado por Lummer y Kurlbaum (1901), que consiste en un tubo de porcelana con un dispositivo interior de calentamiento eléctrico, recubierto con una mezcla de óxidos de cromo, níquel y cobalto, y calentado externamente por un cilindro de platino.

 

Figura 2. Comparación de las predicciones de las leyes de radiación de Wien, Thiesen, Rayleigh y Planck, con las señales observadas emitidas por un cuerpo negro a 24,3 μm, medidas tras reflexiones repetidas en superficies de fluorita (Rubens y Kurlbaum 1900).

 

El 20 de octubre Rubens le escribe a Planck para indicarle que su fórmula se adapta perfectamente a todo el espectro de radiación (Hürter 2022), y el 25 de octubre, junto con Heinrich Kurlbaum, presentan los resultados ante la Academia Prusiana de las Ciencias en una conferencia titulada Sobre la emisión de radiación térmica de onda larga por el cuerpo negro a diferentes temperaturas (Rubens y Kurlbaum 1900). Como se puede observar en la Figura 3, «la ley de Planck no solo demostró ser la que mejor se ajustaba al experimento, sino que además tenía menos parámetros que la fórmula de Lummer-Jahnke, la segunda mejor opción», como indica González de Arrieta (2022). Analíticamente los resultados se muestran en la Tabla 1, y se puede demostrar esta afirmación anterior si se comparan los errores relativos promedio de las predicciones obtenidas con los modelos, ya que el cometido con el de Planck es de −2,1% (de media el valor predicho se queda por debajo del valor «observado» en un 2,1%) y el 4,25% de Lummer-Jahnke (de media, el valor predicho supera el valor «observado» en un 4,25%) frente al −16,95% de Wien, el 12,34% de Thiesen y el 7,56% de Rayleigh.

 

Tabla 1. Rayos residuales de fluorita, λ = 24,0 μm y 31,6 μm (Rubens y Kurlbaum 1899).

 

«Para explicar las discrepancias entre las predicciones y mediciones experimentales basadas en la teoría de Maxwell sobre la distribución de la intensidad de la luz entre los diferentes colores, Planck se vio obligado a postular que, contrariamente a la teoría clásica en la que los intercambios de energía se realizaban siempre de un modo continuo, la materia no podía, en realidad, emitir la energía radiante más que en cantidades finitas, múltiplos enteros de una cantidad elemental hν, proporcionales a la frecuencia ν, siendo el factor de proporcionalidad, h, una constante de las dimensiones de la acción (energía por tiempo), llamada constante de acción, o más conocida como constante de Planck y cuyo valor numérico es 6,626×10^–27 erg·s. Cuanto mayor es la frecuencia de la radiación emitida (o, lo que viene a ser lo mismo, cuanto más corta es su longitud de onda), más energía contiene el quantum o cuanto correspondiente.»

El átomo en la historia de la humanidad, Bernard Pullman (2010)

 

Para darle sentido físico a la fórmula, Planck tiene que apartar a un lado la física clásica de Maxwell y recurrir, no sin cierta desesperación, a la mecánica estadística de Boltzman, algo que no le gusta al no creer en el átomo ni en la discretización de la energía (Sánchez Ron 2025). Se centra en derivar la ecuación a partir de la entropía, un campo en el que ya contaba con una amplia experiencia, y más concretamente en la entropía de la radiación. Presentó su deducción el 14 de diciembre de 1900, fecha que se celebra convencionalmente como el nacimiento de la Física moderna.

 

«Caballeros: cuando hace algunas semanas tuve el honor de presentarles una nueva fórmula que, a mi parecer, era adecuada para expresar la ley de distribución de la energía de radiación en todas las regiones del espectro continuo, mencioné entonces que, en mi opinión, la utilidad de esta ecuación no radicaba únicamente en la aparente concordancia de los pocos valores que pude comunicarles con los datos experimentales disponibles, sino principalmente en la sencillez de su estructura y, sobre todo, en que proporcionaba una expresión logarítmica muy simple para la dependencia de la entropía de un resonador vibrante monocromático irradiado con respecto a su energía vibracional. Esta fórmula parecía prometer, en cualquier caso, la posibilidad de una interpretación general mucho mejor que otras ecuaciones propuestas, a excepción de la fórmula de Wien, que, sin embargo, no fue confirmada experimentalmente.»

Sobre la teoría de la ley de distribución de la energía en el espectro continuo, Max Planck (1900b)

 

 

 

encuentra la constante h = 6,55·10^–27 erg·s de forma matemática que expone en su conferencia Zur Theorie des Gesetzes der Energieverteilung im Normalspektrum (Sobre la teoría de la ley de distribución de la energía en el espectro continuo) en el coloquio de los viernes de la Sociedad de la Física (Hürter 2022).

Después de todo lo anterior, el inicio de la mecánica cuántica se produce el 14 de diciembre, donde Planck tiene lista su fórmula.

«Si bien Sommerfeld exageró un tanto el grado de consenso sobre la relatividad —en 1917 uno de sus propios alumnos aún trabajaba en la cuestión de si la teoría del electrón era «rígida» (Abraham) o «deformable» (Lorentz-Einstein)—, no se equivocaba al afirmar que el trabajo sobre el cuanto era incierto. De hecho, antes de la conferencia de Sommerfeld y la posterior Conferencia Solvay en noviembre de 1911, solo un puñado de experimentalistas y teóricos se habían percatado de que existía, en efecto, un problema con respecto al cuanto de acción, lo que llevó a Planck a sugerir inicialmente que hablar de una conferencia sobre el tema era prematuro. En junio de 1910, Planck solo conocía a cuatro personas, además de él y el destinatario de su carta, Walther Nernst, que estaban «profundamente interesadas» en el tema. Esa falta de interés pronto cambiaría, sobre todo tras el fin de la Primera Guerra Mundial.»

Quantum Physics, Suman Seth (2013)

 

 

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