Arnold Sommerfeld

Modelo atómico (1916)

Profesor Profesor

24/10/2025

Fue Sommefield (1916a,b) quien propuso tres modificaciones al modelo de Bohr:

Las órbitas pueden ser circulares o elípticas. La excentricidad de la elipse dio origen al número cuántico (secundario), que toma valores de $0$ a $n-1$: sharp ($l=0$), principal ($l=1$), diffuse ($l=2$) y fundamental ($l=3$).

Desdoblamiento de los niveles de energía en subniveles debido a factores externos como un campo magnético (efecto Zeeman), un campo eléctrico (efecto Stark) y la interacción electrón-núcleo (interacción espín-órbita). A partir del segundo nivel de energía ($n=2$), en cada nivel aparecen uno o más subniveles de energía, lo que explica las pequeñas diferencias de energía observadas en los espectros atómicos (estructura fina). Debido a esto, se incorpora el número cuántico magnético, que puede tomar valores entre $-l$ y $+l$.

Asumir la velocidad relativista para el electrón, ya que asumir variaciones de la masa cuando su velocidad era cercana a la velocidad de la luz, aumentaba la precisión al describir los niveles de energía.

Sin embargo, aunque el nuevo modelo predecía la distribución electrónica de los electrones en los niveles principales de energía y en cierta medida en los subniveles, al estar también basado en el átomo de hidrógeno solo se podía tratarse de modo riguroso un sistema con un solo electrón. Por ello, el modelo no explicaba con precisión la estructura de los átomos polielectrónicos: el efecto Zeeman anómalo y la interacción electrón-núcleo, porque no se había tenido en cuenta el momento angular de los electrones. El problema del momento angular lo solucionaron años más tarde Goudsmit y Uhlenbeck (1925) con la propuesta del espín, que es el sentido de giro del electrón.

Figura 1.3. Elipses según el subnivel de energía: del s ( ) al g ( ).

Con la aplicación de la dualidad onda-corpúsculo del fotón (de Broglie 1924, 1925) al electrón, asignándole propiedades ondulatorias y corpusculares, a partir de la igualdad de las ecuaciones de Einstein ($E=mc^2$) y Planck ($E=hf=hc/λ$) y el intercambio entre la velocidad de la luz ($c$) por la velocidad del electrón ($v$), se tiene la longitud de onda del electrón ($λ$):
$$\lambda = \dfrac{h}{mv}$$
Gracias a esta ecuación, se puede asumir la segunda hipótesis del modelo de Bohr (1913) sobre las órbitas estacionarias, ya que si la longitud de la órbita es proporcional a la de la onda, entonces la órbita es estacionaria:
$$2\pi r = n\lambda$$
Debido a que si se sustituye $\lambda = {h}/{mv}$ en $2\pi r = n\lambda$ se obtiene la ecuación del segundo postulado enunciada por Bohr (1913) sobre el momento angular $mvr=nh/{2\pi}$.

Figura 1.4. La circunferencia de la órbita es igual a un número natural de la longitud de onda: (a) órbita permitida y (b) órbita no permitida (Chang 2006).

El enfoque mecanocuántico de la configuración electrónica fue propuesto de forma independiente por Heisenberg (1925), basado en la mecánica matricial, y por Schrödinger (1926a–d), basado en la mecánica ondulatoria. Ambos son matemáticamente equivalentes, pero solamente se desarrolla el esquema ondulatorio. Por tanto, el concepto básico del modelo mecánico ondulatorio radica en que una partícula en movimiento puede representarse por una función de onda ($\psi$) que especifique el comportamiento oscilante de la partícula, o lo que es lo mismo, las propiedades del sistema en estado estacionario (no evoluciona con el tiempo). La ecuación suele ser de segundo orden, y salvo casos aislados, no tiene solución:
$$\mathcal{H}\psi = E\psi$$ $$\left( -\frac{h^2}{8\pi^2 m_e} \nabla^2 – \frac{e^2}{r} \right) \psi = E\psi$$
donde $\mathcal{H}$ es el operador diferencial de segundo orden que actúa sobre la función de onda $\psi$ (hamiltoniano), $Ei$ la energía total del sistema (energía cinética más potencial), $h$ la constante de Planck, $m$ la masa del electrón, $e$ la carga del electrón, $r$ el radio atómico y $\nabla$ el gradiente.

La función de onda $\psi$ depende de las coordenadas cartesianas $x$, $y$ y $z$, por lo que para un valor concreto de éstas, solo un resultado de tiene sentido, de ahí que sea una función de probabilidad. Para poder resolverla con mayor facilidad, es conveniente transformar las coordenadas cartesianas a coordenadas polares ($x=\rho sen\theta cos\phi$, $y=\rho sen\theta sen\phi$,$z=rcos\theta$):
$$\psi(r,\theta,\phi) = R(r)\Theta(\theta)\Phi(\phi)$$
donde $R$ es una función radial o esférica (distribución de la densidad de carga respecto al núcleo), $\Theta$ y $\Phi$ son funciones angulares que expresan la orientación de esta distribución espacial.

Matemáticamente pueden encontrarse ecuaciones diferenciales resolubles y separadas para las funciones $R$, $\Theta$ y $\Phi$, lo que implica la introducción de los tres primeros números cuánticos para ello: $n$, $l$ y $m$.

Bibliografía

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Schrödinger E (1926c) Quantisierung als Eigenwertproblem. Annalen der Physik 385(13): 437–490 doi 10.1002/andp.19263851302

Schrödinger E (1926d) Quantisierung als Eigenwertproblem. Annalen der Physik 386(18): 109–139 doi 10.1002/andp.19263861802

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Fue Sommefield (1916a,b) quien propuso tres modificaciones al modelo de Bohr:

Las órbitas pueden ser circulares o elípticas. La excentricidad de la elipse dio origen al número cuántico (secundario), que toma valores de $0$ a $n-1$: sharp ($l=0$), principal ($l=1$), diffuse ($l=2$) y fundamental ($l=3$).

Desdoblamiento de los niveles de energía en subniveles debido a factores externos como un campo magnético (efecto Zeeman), un campo eléctrico (efecto Stark) y la interacción electrón-núcleo (interacción espín-órbita). A partir del segundo nivel de energía ($n=2$), en cada nivel aparecen uno o más subniveles de energía, lo que explica las pequeñas diferencias de energía observadas en los espectros atómicos (estructura fina). Debido a esto, se incorpora el número cuántico magnético, que puede tomar valores entre $-l$ y $+l$.

Asumir la velocidad relativista para el electrón, ya que asumir variaciones de la masa cuando su velocidad era cercana a la velocidad de la luz, aumentaba la precisión al describir los niveles de energía.

Sin embargo, aunque el nuevo modelo predecía la distribución electrónica de los electrones en los niveles principales de energía y en cierta medida en los subniveles, al estar también basado en el átomo de hidrógeno solo se podía tratarse de modo riguroso un sistema con un solo electrón. Por ello, el modelo no explicaba con precisión la estructura de los átomos polielectrónicos: el efecto Zeeman anómalo y la interacción electrón-núcleo, porque no se había tenido en cuenta el momento angular de los electrones. El problema del momento angular lo solucionaron años más tarde Goudsmit y Uhlenbeck (1925) con la propuesta del espín, que es el sentido de giro del electrón.

Figura 1.3. Elipses según el subnivel de energía: del s ( ) al g ( ).

Con la aplicación de la dualidad onda-corpúsculo del fotón (de Broglie 1924, 1925) al electrón, asignándole propiedades ondulatorias y corpusculares, a partir de la igualdad de las ecuaciones de Einstein ($E=mc^2$) y Planck ($E=hf=hc/λ$) y el intercambio entre la velocidad de la luz ($c$) por la velocidad del electrón ($v$), se tiene la longitud de onda del electrón ($λ$):

$$\lambda = \dfrac{h}{mv}$$

Gracias a esta ecuación, se puede asumir la segunda hipótesis del modelo de Bohr (1913) sobre las órbitas estacionarias, ya que si la longitud de la órbita es proporcional a la de la onda, entonces la órbita es estacionaria:

$$2\pi r = n\lambda$$

Debido a que si se sustituye $\lambda = {h}/{mv}$ en $2\pi r = n\lambda$ se obtiene la ecuación del segundo postulado enunciada por Bohr (1913) sobre el momento angular $mvr=nh/{2\pi}$.

Figura 1.4. La circunferencia de la órbita es igual a un número natural de la longitud de onda: (a) órbita permitida y (b) órbita no permitida (Chang 2006).

El enfoque mecanocuántico de la configuración electrónica fue propuesto de forma independiente por Heisenberg (1925), basado en la mecánica matricial, y por Schrödinger (1926a–d), basado en la mecánica ondulatoria. Ambos son matemáticamente equivalentes, pero solamente se desarrolla el esquema ondulatorio. Por tanto, el concepto básico del modelo mecánico ondulatorio radica en que una partícula en movimiento puede representarse por una función de onda ($\psi$) que especifique el comportamiento oscilante de la partícula, o lo que es lo mismo, las propiedades del sistema en estado estacionario (no evoluciona con el tiempo). La ecuación suele ser de segundo orden, y salvo casos aislados, no tiene solución:

$$\mathcal{H}\psi = E\psi$$ $$\left( -\frac{h^2}{8\pi^2 m_e} \nabla^2 – \frac{e^2}{r} \right) \psi = E\psi$$

donde $\mathcal{H}$ es el operador diferencial de segundo orden que actúa sobre la función de onda $\psi$ (hamiltoniano), $Ei$ la energía total del sistema (energía cinética más potencial), $h$ la constante de Planck, $m$ la masa del electrón, $e$ la carga del electrón, $r$ el radio atómico y $\nabla$ el gradiente.

La función de onda $\psi$ depende de las coordenadas cartesianas $x$, $y$ y $z$, por lo que para un valor concreto de éstas, solo un resultado de tiene sentido, de ahí que sea una función de probabilidad. Para poder resolverla con mayor facilidad, es conveniente transformar las coordenadas cartesianas a coordenadas polares ($x=\rho sen\theta cos\phi$, $y=\rho sen\theta sen\phi$,$z=rcos\theta$):

$$\psi(r,\theta,\phi) = R(r)\Theta(\theta)\Phi(\phi)$$

donde $R$ es una función radial o esférica (distribución de la densidad de carga respecto al núcleo), $\Theta$ y $\Phi$ son funciones angulares que expresan la orientación de esta distribución espacial.

Matemáticamente pueden encontrarse ecuaciones diferenciales resolubles y separadas para las funciones $R$, $\Theta$ y $\Phi$, lo que implica la introducción de los tres primeros números cuánticos para ello: $n$, $l$ y $m$.