Recogiendo el testigo de la explicación mecanocuántica de Niels Bohr (1913), Sommerfeld (1916a,b) propuso tres modificaciones al modelo de Bohr:

 

1. Las órbitas pueden ser circulares o elípticas (Figura 1). La excentricidad de la elipse dio origen al número cuántico secundario ($l$), que toma valores de $0$ a $n-1$: sharp (nítido: $l=0$), principal (principal: $l=1$), diffuse (difuso: $l=2$) y fundamental (fundamental: $l=3$). Estos son los actuales orbitales s, p, d y f (en los que caben 2, 6, 10 y 14 electrones, respectivamente), pero en aquel entonces eran únicamente órbitas posibles para el electrón basadas en el estudio de las series espectrales de Fowler (1912, 1914), de donde se tomaron los nombres. Posteriormente se descubrieron de forma teórica las órbitas g ($l=4$), h ($l=5$) y siguientes, como confirmó Pauli (1926). Las órbitas son estacionarias porque la energía del electrón solo depende del número cuántico principal o nivel de energía ($n = 1,2,3,\ldots \in \mathbb{N}$) (Eisberg y Resnick 1985):

$$E=-(\frac{1}{4\pi \epsilon_0})^2 \frac{4\pi^2 \mu Z^2e^4}{2n^2h^2}=-\frac{\mu Z^2e^4}{8n^2h^2\epsilon_0^2},$$

donde ε₀ es la permitividad del vacío —8,8541878128·10^–12 F·m^–1 (Tiesinga et al. 2021)—, Z el número atómico y $e$ = $|q_p|$ = $|q_e|$  = 1,602176634·10^–19 C (Tiesinga et al. 2021) —hay que tener en cuenta que $q_p$ y $q_e$ se pueden sustituir por $+Ze$ y, además, en el átomo de hidrogeno $Z=1$—, $\mu$ la masa reducida del electrón y $h$ la constante de Planck —6,62607015·10^–34 J·Hz^–1 (Tiesinga et al. 2021)—. Respecto a la excentricidad, de acuerdo con Eisberg y Resnick (1985), el semieje mayor de la elipse ($a$) se calcula como:

$$a=\frac{n^2h^2}{4\pi^2\mu(\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0})} = \frac{n^2h^2\epsilon_0}{\pi \mu Ze^2},$$

así como el semieje menor ($b$) de la siguiente forma:

$$b=\frac{n_\theta}{n}a=n_\theta\frac{nh^2\epsilon_0}{\pi\mu Ze^2}=l\frac{nh^2\epsilon_0}{\pi\mu Ze^2},$$

donde $n=n_r+n_\theta$ ($n_r=0, 1, 2, 3, …\in \mathbb{Z}^+$ y $n_\theta=1, 2, 3, …\in \mathbb{N}$ y, por tanto, $n=1, 2, 3, …\in \mathbb{N}$), siendo $n_r$ y $n_\theta$ los números cuánticos radial y angular/azimutal ($n_\theta=l$ actualmente) definidos en la cuantización de la cantidad de movimiento (Wilson 1915) para el movimiento elíptico (kepleriano) en dos dimensiones. La órbita es circular en el caso $n_r=0$, es decir, cuando $n=n_\theta=l$.

Figura 1. Órbitas posibles para el electrón en el nivel 5: la excentricidad está dada por los dos números cuánticos n y l (adaptado de Sommerfeld 1916a).

2. Desdoblamiento de los niveles de energía en subniveles debido a factores externos como un campo magnético —efecto Zeeman (1896), esto es, en ausencia del campo magnético los subniveles $l=0, 1, 2, …, n-1$ tienen la misma energía, sin embargo, en presencia del campo magnético son diferentes porque se produce un desdoblamiento del espectro del hidrógeno (Eisberg y Resnick 1985)—, un campo eléctrico (efecto Stark) y la interacción electrón-núcleo (la interacción espín-órbita, en aquel entonces denominada «estructura fina del espectro» debido a que el espinilleras todavía no se había descubierto). A partir del segundo nivel de energía ($n=2$), en cada nivel aparecen uno o más subniveles de energía, lo que explica las pequeñas diferencias de energía observadas en los espectros atómicos (estructura fina). Debido a esto, se incorpora el número cuántico magnético, que puede tomar valores entre $-l$ y $+l$.

 

3. Asumir la velocidad relativista para el electrón, ya que asumir variaciones de la masa cuando su velocidad era cercana a la velocidad de la luz, aumentaba la precisión al describir los niveles de energía.

 

 

Sin embargo, aunque el nuevo modelo predecía la distribución electrónica de los electrones en los niveles principales de energía y en cierta medida en los subniveles, al estar también basado en el átomo de hidrógeno solo se podía tratarse de modo riguroso un sistema con un solo electrón. Por ello, el modelo no explicaba con precisión la estructura de los átomos polielectrónicos: el efecto Zeeman anómalo y la interacción electrón-núcleo, porque no se había tenido en cuenta el momento angular de los electrones. El problema del momento angular lo solucionaron años más tarde Goudsmit y Uhlenbeck (1925) con la propuesta del espín, que es el sentido de giro del electrón.

Con la aplicación de la dualidad onda-corpúsculo del fotón (de Broglie 1924, 1925) al electrón, asignándole propiedades ondulatorias y corpusculares, si se iguala la ecuación de la energia de Einstein (1905):

$$E=mc^2,$$

con la de Planck (1900):

$$E_{\text{fotón}} = \Delta E = E_{\text{final}} – E_{\text{inicial}} = hf=h \dfrac{c}{\lambda},$$

y por último se intercambia la velocidad de la luz ($c$) por la velocidad del electrón ($v$), se tiene la longitud de onda del electrón ($\lambda$):

$$\lambda = \dfrac{h}{mv}.$$

Gracias a esta ecuación, se puede asumir la segunda hipótesis del modelo de Bohr (1913) sobre las órbitas estacionarias, ya que si la longitud de la órbita es proporcional a la de la onda, entonces la órbita es estacionaria (Figura 2):

$$2\pi r = n\lambda.$$

Debido a que si se sustituye $\lambda = {h}/{mv}$ en $2\pi r = n\lambda$ se obtiene la ecuación del segundo postulado enunciada por Bohr (1913) sobre el momento angular $mvr=nh/{2\pi}$.

 

Figura 2. La circunferencia de la órbita es igual a un número natural de la longitud de onda: (a) órbita permitida y (b) órbita no permitida (Chang 2006).

 

 

 

Bibliografía

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