El modelo atómico de Bohr (1913) es una explicación mecano-cuántica a la discontinuidad del espectro atómico, que surge de la contradicción del modelo planetario de Rutherford (1911) con las leyes de Maxwell porque una carga eléctrica acelerada debe emitir ondas electromagnéticas, y al hacerlo de forma circular alrededor del núcleo, el espectro debe ser continuo. Debido a esto, Bohr (1913) propuso un modelo que solucionaba este aspecto con tres postulados fundamentales basados en los cuantos (o paquetes de energía) definidos por Planck (1900) y la serie de Balmer (1885):

1. Los electrones describen órbitas circulares en torno al núcleo del átomo sin irradiar energía. Las órbitas se consideran estados estacionarios de energía y hay un total de siete. El número máximo de electrones que puede contener cada órbita, desde la más cercana al núcleo a la más lejana, son 2, 8, 18, 32, 50, 72 y 98.
2. Las órbitas permitidas para un electrón son las que tienen el momento angular múltiplo natural de $h/2\pi$:

$$L = m_evr = n \frac{h}{2\pi}$$

donde m_e es la masa del electrón —9,1093837015·10^–31 kg (Tiesinga et al. 2021)—, v la velocidad del electrón (m·s^–1), r el radio de la órbita (m), h la constante de Planck o cuanto —6,62607015·10^–34 J·Hz^–1 (Tiesinga et al. 2021)— y n el nivel de energía o número cuántico principal ($n = 1,2,3,\ldots \in \mathbb{N}$).

3. La energía emitida por el electrón en el salto de una órbita de mayor energía a otra de menor es uniforme e igual a $E_{\text{fotón}} =hf$ (Figura 1). Este salto origina un cuanto en forma de energía (fotón), cuya energía es la diferencia de energía entre ambos niveles:

$$E_{\text{fotón}} = \Delta E = E_{\text{final}} – E_{\text{inicial}} = hf=h \dfrac{c}{\lambda}$$

donde f es la frecuencia del electrón (Hz), c la velocidad de la luz en el vacío —299792458 m·s^–1 (Tiesinga et al. 2021)— y λ la longitud de onda (m^–1).

Figura 1.1. Liberación de un fotón como liberación de energía debido al salto de un electrón desde un nivel de energía superior a uno inferior (Chang 2006).

 

Para calcular la energía mecánica del electrón en la órbita permitida se necesita deducir el radio de la órbita (r), el cual se obtiene a partir del equilibrio entre la fuerza electrostática debida a la atracción del electrón (q_e) por parte del protón del núcleo (q_p) —ley de Coulomb (1785)— y de la fuerza centrípeta debida a la segunda ley de Newton (ley de la dinámica):

$$\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{q_pq_e}{r^2}=m_ea_n,$$

donde ε₀ es la permitividad del vacío —su valor es 8,8541878128·10^–12 F·m^–1 (Tiesinga et al. 2021)—, y teniendo en cuenta que q_p y q_e se pueden sustituir por +Ze —en el átomo de hidrogeno Z = 1 y |q_p| = |q_e| = e = 1,602176634·10^–19 C (Tiesinga et al. 2021)— y que en un movimiento circular $a_n=v^2/r$, se tiene:

$$\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{Ze^2}{r^2}=m_e\dfrac{v^2}{r},$$

donde m_e es la masa del electrón —su valor es 9,1093837015·10^–31 kg (Tiesinga et al. 2021)—, v es la velocidad orbital del electrón (m·s^–1) y r la distancia al núcleo (m). Por otro lado, del segundo postulado $L = m_evr = n \frac{h}{2\pi}$ se despeja la velocidad orbital del electrón:

$$v = \frac{nh}{2\pi m_er}$$

que al sustituir en la ecuación de equilibrio de fuerzas resulta:

$$\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{Ze^2}{r^2}=m_e\frac{(\frac{nh}{2\pi m_er})^2}{r}=\frac{n^2h^2}{4\pi^2m_er^3},$$

y se despeja el radio orbital (r):

$$r=\frac{n^2h^2\epsilon_0}{\pi m_eZe^2}.$$

Una vez determinado el radio, la energía cinética asociada al electron en la órbita (E_c) es:

$$E_c=\dfrac{1}{2}m_ev^2=\dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{Ze^2}{r})=\dfrac{Ze^2}{8\pi\epsilon_0r},$$

y la energia potencial (E_p):

$$E_p=-2E_c=-\dfrac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0r},$$

cuyo signo negativo implica atracción del electrón por el núcleo, resultando finalmente la energía mecánica (E_m):

$$E_m=E_c+E_p=-\dfrac{Ze^2}{8\pi\epsilon_0r}.$$

Si se sustituye el radio en la ecuación anterior se tiene E_m dependiente únicamente del nivel de energía (n) y de constantes universales:

$$E_m=-\dfrac{Ze^2}{8\pi\epsilon_0(\frac{n^2h^2\epsilon_0}{\pi m_eZe^2})}=-\dfrac{Z^2e^4m_e}{8\epsilon_0^2n^2h^2}.$$

Si se aglutinan todas las constantes naturales en una sola, la denominada constante de Rydberg $R_H=\dfrac{e^4m_e}{8\epsilon_0^2h^2}$ — 13,605693122994 eV o su equivalente es 2,1798723611035·10^–18 J (Tiesinga et al. 2021)—, se tiene:

$$E_m=-\dfrac{ZR_H}{n^2}\simeq-13,6\dfrac{Z}{n^2}.$$

Entonces, para el átomo de Hidrogeno (Z = 1), la energia mecánica asociada a cada electrón en los diferentes niveles de energía (n = 1, 2, 3…) es:

$$E_1\simeq-13,6\dfrac{1}{1^2} =-13,6  eV,$$ $$E_2\simeq-13,6\dfrac{1}{2^2} =-3,4  eV,$$ $$E_3\simeq-13,6\dfrac{1}{3^2} =-1,51  eV,$$

de lo que se deduce que en el infinito el electrón está liberado, ya que $E_\infty = 0  eV$. Entonces, de acuerdo con los valores de la energía mecánica anterior y al tercer postulado ($E_{\text{fotón}} = \Delta E = E_{\text{final}} – E_{\text{inicial}} = hf=hc/ \lambda$), se obtienen los mismos valores de longitud de onda para la serie serie de Balmer (1885), como se muestra en la Tabla 1.

 

Tabla 1. Comparación de los resultados de longitud de onda obtenidos por Bohr (1913) y la serie de Balmer (1885).

Espectro	Nivel de energía, n	Efotón = En – E2 (J)	Predicción de Bohr (1913), λ (nm)	Predicción de Balmer (1885), λ (nm)	Error, Ea (nm)
H-α	3	3,026·10–19	656,279	656,208	+0,071
H-β	4	4,085·10–19	486,135	486,08	+0,055
H-γ	5	4,575·10–19	434,047	434,0	+0,047
H-δ	6	4,841·10–19	410,173	410,13	+0,043

 

Por tanto, este modelo explicaba el comportamiento y la estructura del átomo (monoelectrónico) de hidrógeno —con la serie de Balmer (1885) ya comentada en la Tabla 1, pero también las series de Lyman (1906) y Paschen (1908), las únicas publicadas hasta ese momento, así como las que aparecerían después: las series de Brackett (1922), Pfund (1924) y Humphreys (1953)—, pero no el de los átomos polielectrónicos, lo que sumado a la contradicción de la teoría electromagnética de Maxwell (y de la Mecánica clásica), el modelo debía ser revisado. Posteriormente Sommefeld (1916a,b) propuso tres modificaciones al modelo de Bohr que apoyaban el modelo cuántico con la introducción, entre otras afirmaciones, de órbitas elípticas y dos números cuánticos a mayores del principal (n).

 

Bibliografía

Bohr N (1913) On the Constitution of Atoms and Molecules. The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science Philosophical Magazine 26(151): 1–25. doi: 10.1080/14786441308634955

Chang R (2006) Principios esenciales de Química General. McGraw Hill, Madrid

Coulomb CA (1785) Premier Mémoire sur l’Électricité et le Magnétisme. Histoire de l’Académie Royale des Sciences: 569–577

Mermin DN (1985) Is the Moon there when nobody looks? Reality and the quantum theory. Physics Today 78(1): 28–39  doi 10.1063/pt.hsjm.vbey

Rutherford E (1911) The scattering of α and β particles by matter and the structure of the atom. The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science 21(125): 669–688 doi: 10.1080/14786440508637080

Sommerfeld (1916a) Zur Quantentheorie der Spektrallinien. Physikalische Zeitschrift 356(17): 1–94 doi 10.1002/andp.19163561702

Sommerfeld (1916b) Zur Quantentheorie der Spektrallinien. Physikalische Zeitschrift 356(18): 125–167 doi 10.1002/andp.19163561802

Tiesinga E, Mohr PJ, Newell DB, Taylor BN (2021) CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 2018*. Reviewa of Modern Physics 93(2): 1–63 doi 10.1103/RevModPhys.93.025010